Sinergo Engineering Balance: Relacionando Timoshenko, Saint Gobain y un vidrio de 5,15 x 2,50 metros (y 3)

Anteriormente llegamos a establecer unas tablas donde se definían unos coeficientes \(\alpha\) que nos permitían calcular las deformaciones de una placa delgada rectangular en función de la relación de su ancho y de su alto.

En este post relacionaremos estos coeficientes y demostraremos los que se han expuesto en las tablas de memento de Saint Gobain y comprobaremos la solución por elementos finitos:

Bien, a continuación se muestran los coeficientes \(\alpha\) que el Memento de Saint Gobain expone en su documentación técnica:

El coeficiente \(\alpha\) es el que nos interesa. Denominaremos \(\alpha^\prime\) los valores de la tabla de Timoshenko expuesto en la entrada anterior de este post.
Considerando un valor de poisson \(\nu=0.25\) correspondiente al vidrio, y considerando su módulo elástico \(E=0.07\frac{N}{m^2}\) obtendremos con la fórmula de rigidez flexional encontrada en la parte (1), ecuación (2):

\[\ \frac{Eh^{3}}{12(1-\nu^{2})}=D \]

Y con la ecuación:

\[\ w_{max}=0.00416 \frac{q_0a^4}{D}\]

Obtendremos mediante unos pequeños cálculos la concordancia de \(\alpha\) (Saint Gobain) y de \(\frac{\alpha^\prime}{D}\) y veremos la coincidencia en algunas relaciones de ancho/altura de placa:

\(b/a\)	\(\alpha^\prime\)	\(D\)	\(\frac{\alpha^\prime}{D}\)	\(\frac{l}{L}\)	\(\alpha\)
\(1.0\)	\(0.00416\)	\(0.006222\)	\(0.66857143\)	\(1.0\)	\(0.6571\)
\(2\)	\(0.01013\)	\(0.006222\)	\(1.62803571\)	\(0.5\)	\(1.6429\)
\(5\)	\(0.012974\)	\(0.006222\)	\(2.08446429\)	\(0.2\)	\(2.1000\)
\(\infty\)	\(0.01302\)	\(0.006222\)	\(2.0925\)	\(<0.1\)	\(2.1143\)

Los parecidos son muy razonables, por lo que se consideran correctos y semblantes.

Según Saint Gobain el cálculo del vidrio estructural se reduce a la siguiente ecuación:

\[\ f=\alpha P \frac{ l^{4}}{ e^{3}} \]

Que es exactamente la misma ecuación que deducimos en la segunda parte, al final de todo:

\[\ w_{max}=0.0468 \frac{q_0a^4}{Eh^3}\]

Para la primera ecuación \(e\) es el espesor nominal de fabricación del vidrio en milímetros, \(f\) es la flecha en el centro del vidrio en milímetros, \(l\) es la longitud del lado más corto del vidrio expresado en metros, \(P\) es la presión uniformemente repartida en Pascales y \(\alpha\) es el coeficiente que acabamos de equiparar, determinado bajo un Módulo de Young de 70.000 MegaPascales.

Considerando el vidrio de 5,15 metros de ancho por 2,50 metros de alto, obtenemos de las tablas (aproximadamente)el valor de \(\alpha=1.6429\), consideramos un espesor de vidrio de \(16 mm\) en total y una presión de viento de \(670 MPa=0,67 N/m^2\))calculamos y obtenemos el siguiente resultado:

\[\ f=1.6429 \times 670Pa \times \frac{2.50m^{4}}{16mm^{3}}=10,49 mm \]

La máxima deformación es de 10,49 mm según nuestros cálculos.

Mediante los elementos finitos podremos comprobar la semejanza entre deformaciones totales. Se realiza mediante elementos finitos y un análisis lineal y obtenemos el siguiente resultado:

Vemos que la máxima deformación es de 10,8415 milímetros, lo que el resultado satisface bastante.

Como se trata de una placa delgada, muchos autores destacan que es más real realizar un análisis modal iterativo, porque los resultados finales mediante análisis lineal suelen ser muy desfavorables.

Para el caso que nos ocupa el resultado tanto por la parte teórica como por la parte simulada son prácticamente iguales, por lo que se da por correcto dicho resultado.

Es importante señalar que no he mencionado en ningún momento las tensiones del vidrio, y que es un tema que también hay que tener en cuenta, pues es un elemento muy frágil y depende de su tratamiento superficial. Analizar las tensiones de este vidrio ya es harina de otro costal.

A continuación unas imágenes de un proceso similar para un vidrio de las mismas dimensiones y una inclinación de 5 grados hacia afuera: