Relacionando Timoshenko, Saint Gobain y un vidrio de 5,15 x 2,50 metros (2)

En la última entrada llegamos a la conclusión siguiente:

$$w=\frac{q}{\pi^4D\big(\frac{m}{a^{2}}+\frac{n}{b^{2}} \big)^2} sin \frac{m\pi x}{a} sin \frac{n\pi y}{b}$$    (1)

Que es la fórmula de la deformada de una superficie con una carga sinusoidal.

En esta estrada veremos  cómo podemos llegar a justificar un vidrio como el siguiente:

Bien, siguiendo los métodos de Timoshenko buscaremos ahora una ecuación para una placa rectangular simplemente apoyada según Navier. Para este paso se considera una función f(x,y) con la forma de una serie trigonométrica doble:

$$f(x,y)= \sum_{m=1} ^{\infty} \sum_{n=1} ^{\infty} a_{mn} sin \frac{m \pi x}{a}sin \frac{n \pi y}{b}$$  (2)

Para calcular un coeficiente \(a_{m^\prime n}\) en la anterior serie multiplicamos en ambos lados de la ecuación (2) por \(sin (n^\prime \pi y/b)dy\) e integramos desde 0 a b. Observamos lo siguiente:

\(\int_0^b sin \frac{n \pi y}{b}sin \frac{n^\prime \pi y}{b} dy=0\) cuando \(n \neq n^\prime\)
\(\int_0^b sin \frac{n \pi y}{b}sin \frac{n^\prime \pi y}{b} dy=b\) cuando \(n \neq n^\prime\)

Así pues consideramos la siguiente ecuación:

\[\ \int_0^b f(x,y)sin \frac{n^\prime \pi y}{b}dy= \frac{b}{2} \sum_{m=1}^\infty a_{mn^\prime}sin \frac{m \pi x}{a}\]

Multiplicando en ambos lados la ecuación anterior por \(sin (m^\prime\pi x/a)dx\) e integrando desde \(0\) a \(a\), obtenemos lo siguiente:

\[\ \int_0^a \int_0^b f(x,y)sin \frac{m^\prime \pi x}{a}sin \frac{n^\prime \pi y}{b}dxdy= \frac{ab}{4} a_{mn^\prime}\]

Que aislando \(a_{mn^\prime}\) obtenemos la siguiente exuación:

$$a_{mn^\prime}=\frac{4}{ab} \int_0^a \int_0^b f(x,y)sin \frac{m^\prime \pi x}{a}sin \frac{n^\prime \pi y}{b}dxdy$$    (3)

Realizando la integración indicada en la anterior ecuación para una distribución de carga dada, por ejemplo \(f(x,y)\), podemos encontrar los coeficientes de la serie de la ecuación (2) y representar de esta forma una carga como unas cargas parcialmente sinusoidal. La deformación total se bontendrá por la suma de todos los términos que se pueden extraer de la ecuación (1). De esta manera encontramos lo siguiente:

$$w= \frac{1}{\pi^4 D} \sum_{m=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{mn}}{ \big( {\frac{m^2}{a^2}\frac{n^2}{b^2}\big)}^2} sin \frac{m \pi x}{a} sin \frac{n \pi y}{b}$$    (4)

Para el caso de una carga uniformemente distribuida en toda la superficie de la placa se puede realizar en estos momentos una aplicación general de la ecuación (4):

\[\ f(x,y) = q_0\]

Donde \(q_0\) es la intensidad de la carga uniformemente distribuida, desde la fórmula (4) obtenemos lo siguiente:

\[\ a_{mn}= \frac{4q_0}{ab} \int_0^a \int_0^b f(x,y)sin \frac{m \pi x}{a}sin \frac{n \pi y}{b}dxdy= \frac{16q_0}{\pi^2 mn} \]

Donde \(m\) y \(n\) son enteros impares. Si \(m\) o \(n\) o ambos son números pares entondes \(a_{mn}=0\). Por lo tanto sustituyendo en la ecuación (4) obtenemos:

$$w= \frac{16q_0}{\pi^6 D} \sum_{m=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty \frac{sin \frac{m \pi x}{a}sin \frac{n \pi y}{b}}{ {mn}\big( {\frac{m^2}{a^2}\frac{n^2}{b^2}\big)}^2}$$     (5)

Donde \(n=1,3,5,...\) y \(m=1,3,5,....\)

Para el caso de una carga uniforme obtendremos una deformación simétrica respecto los ejes \(x=a/2\) e \(y=b/2\) y todos los términos pares m y n de la serie desaparecen, ya que son asimétricos respecto a los ejes mencionados. La máxima deformación de la placa está en el centro y podemos calcularlo sustituyendo \(x=a/2\) e \(y=b/2\) en la fórmula (5), como veremos a continuación:

$$w= \frac{16q_0}{\pi^6 D} \sum_{m=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{ \frac{m+n}{2}-1 }}{{mn}\big( {\frac{m^2}{a^2}\frac{n^2}{b^2}\big)}^2}$$   (6)

Esta ecuación converge rápidamente, y una satisfactoria aproximación considerando los primeros términos de las series por ejemplo en el caso de una placa cuadrada, por ejemplo, obtenemos el siguiente resultado:

\[\ w_{max}= \frac{4q_0a^4}{\pi^6D}=0.00416 \frac{q_0a^4}{D}\]

Considerando la ecuación (2) de la entrada anterior a este post, que es la siguiente ecuación:

 \[\ \frac{Eh^{3}}{12(1-\nu^{2})}=D \]

 Asumiendo \(\nu=0.25\) que es el coeficiente de Poisson del vidrio tenemos el siguiente resultado:

\[\ w_{max}=0.0468 \frac{q_0a^4}{Eh^3}\]

A continuación se muestra una tabla con los factores numéricos según la relación ancho/alto de una placa:

\(b/a\)	\(w_{max}= \alpha·\frac{q_0a^4}{D}\) \(\alpha\)
\(1.0\)	\(0.00416\)
\(1.1\)	\(0.00485\)
\(1.2\)	\(0.00564\)
\(1.3\)	\(0.00638\)
\(1.4\)	\(0.00705\)
\(1.5\)	\(0.00772\)
\(1.6\)	\(0.00830\)
\(1.7\)	\(0.00883\)
\(1.8\)	\(0.00931\)
\(1.9\)	\(0.00974\)
\(2.0\)	\(0.01013\)
\(3.0\)	\(0.01223\)
\(4.0\)	\(0.01282\)
\(5.0\)	\(0.01297\)
\(\infty\)	\(0.1302\)

Comprararemos en la siguiente entrada con las tablas del Memento de Saint Gobain y calcularemos un vidrio estructural de 5,15 por 2,50 metros.