Relacionando Timoshenko, Saint Gobain y un vidrio de 5,15 x 2,50 metros (1)

En todo muro cortina llega un momento que es necesario realizar un cálculo del comportamiento del propio vidrio, considerándolo como una estructura que se asemeja a una placa delgada y cuyo estudio es bastante peculiar.

Timoshenko

Acogiéndonos a la teoría de placas delgadas de Timoshenko las placas delgadas pueden estudiarse considerando que su deformación se asemeja a una superficie cilíndrica. Es por ello interesante el estudio de las ecuaciones diferenciales que rigen este fenómeno.

Flexión de una larga placa rectangular que se convierte en una superficie cilíndrica

Para obtener la ecuación de la deformación consideramos una placa de un espesor uniforme (h) y escogemos un plano xy en el medio entre las caras superior e inferior de la placa antes de la aplicación de la carga.

Considerando la teoría ordinaria de las vigas, la sección transversal de un pequeño elemento sigue siendo recta lo que nos permite establecer la deformación de la curva:

\[\ -\frac{d^{2}w}{dx^{2}} \]

La deformación w se considera muy pequeña en relación a la longitud del lado de la placa considerada.

Considerando la ley de Hooke, las deformaciones unitarias en términos de tensión axial que actúan en el elemento que se muestra en la figura 2 son las siguientes:

$$\epsilon _{x}=\frac{\sigma _{x}}{E}-\frac{\nu\sigma _{y}}{E}$$    (1)

\[\ \epsilon _{y}=\frac{\sigma _{y}}{E}-\frac{\nu\sigma _{x}}{E}=0 \]

Donde \(\nu\) es el coeficiente de Poisson y \(E\) es el módulo elástico del material, que para el vidrio reciben los valores de 0,25 y 70.000 MPa respectivamente.

Desarrollando la ecuación (1) obtenemos la siguiente expresión:

\[\ \epsilon _{x}=\frac{(1-\nu^{2})\sigma_{x}}{E}\]
así pues continuando el desarrollo:

\[\ \sigma_{x}= \frac{E\epsilon _{x}}{1-\nu^{2}}=-\frac{E_{z}}{1-\nu^{2}}\frac{d^{2}w}{dx^{2}}\]
Mediante la integración de la anterior tensión obtendremos el momento de flexión del elemento analizado:

\[\ M=\int_{\frac{h}{2}}^{-\frac{h}{2}}\sigma_{x}zdz=-\int_{\frac{h}{2}}^{-\frac{h}{2}}-\frac{E_{z}}{1-\nu^{2}}\frac{d^{2}w}{dx^{2}}dz=-\frac{Eh^{3}}{12(1-\nu^{2})}\frac{d^{2}w}{dx^{2}}\]
 Entonces introducimos la siguiente ecuación:

$$\frac{Eh^{3}}{12(1-\nu^{2})}=D$$    (2)

Fórmula que corresponde  a la rigidez flexional de placas y como vemos viene dada en función del espesor de la placa \(h\), el módulo de Young \(E\) y el coeficiente de Poisson \(\nu\).

Esta fórmula nos ayudará posteriormente en encontrar un valor \(\alpha\)  que nos indique el valor para el cálculo de una deformación máxima de una placa delgada.

Placa rectangular simplemente apoyada

Tomamos las coordenadas que se muestra en la siguiente imagen:

Imaginemos una carga distribuida sinusoidalmente, como la que se muestra a continuación:

\[\ q=q_{0}sin\frac{\pi x}{a}sin\frac{\pi y}{b} \]
donde \(q_{0}\) representa la intensidad de la carga en el centro de la placa. La ecuación diferencial para la deformación es la siguiente:

$$ \frac{\partial^4 w}{\partial x^4}+2\frac{\partial^4 w}{\partial x^4\partial y^4}+\frac{\partial^4 w}{\partial y^4}= \frac{q_{0} }{D}sin \frac{\pi x}{a}sin \frac{\pi y}{b}$$    (3)

Suponemos las condiciones de entorno para unos apoyos simples tenemos lo siguiente:

w=0 y Mx=0 para x=0 y x=a

w=0 y My=0 para x=0 y x=b

Puede demostrarse que para pequeñas deformaciones de unas placas cargadas lateralmente los momentos son los siguientes:

$$M_{x}=-D \big(\frac{\partial^2w}{\partial x^2}+\nu {\frac{\partial^2w}{\partial y^2}} \big) $$    (4)

$$M_{y}=-D \big(\frac{\partial^2w}{\partial x^2}+\nu {\frac{\partial^2w}{\partial y^2}} \big) $$    (5)

\[\ M_{xy}=-M_{yx}=D(1-\nu)\frac{\partial^2w}{\partial x\partial y} \]

Utilizando las expresiones (4) y (5) para unos momentos flectores, considerando w=0 en los extremos, significa que \(\frac{\partial^2w}{\partial x^2}=0\) y \(\frac{\partial^2w}{\partial y^2}=0\) para las esquinas paralelas al eje x y para el eje y, respectivamente, con lo que con las condiciones de entorno definidas podemos considerar para las deformaciones la siguiente expresión:

$$w=Csin\frac{\pi x}{a}sin\frac{\pi y}{a}$$    (6)

con la constante C utilizaremos la ecuación diferencial (3), sustituyendo la ecuación (6) en la anterior (3):

\[\ \pi^{4}\big(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}} \big)^2 C= \frac{ q_{0} }{D} \]
Con lo que se concluye que la deformación que satisface la ecuación diferencial (3) y las condiciones de entorno es la siguiente:

\[\ w=\frac{q}{\pi^4D\big(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}} \big)^2} sin \frac{\pi x}{a} sin \frac{\pi y}{b} \]
Si la carga sinusoidal fuese descrita por la siguiente ecuación:

\[\ q=q_{0}sin\frac{m\pi x}{a}sin\frac{n\pi y}{b} \]
donde m y n son números enteros y procedemos como antes, podemos obtener la deformada de la superficie con la siguiente expresión:

\[\ w=\frac{q}{\pi^4D\big(\frac{m}{a^{2}}+\frac{n}{b^{2}} \big)^2} sin \frac{m\pi x}{a} sin \frac{n\pi y}{b} \]

En el siguiente apartado veremos la solución de Navier con las conclusiones llegadas hasta ahora y podremos establecer una relación con los métodos que se exponen en el Memento de Saint Gobain y poder finalmente calcular la deformación del un vidrio de 5,15 por 2,50 metros.